বীজগাণিতিক সূত্রাবলী ও মান নির্ণয়

 ১। x2 – 2x + 1 = 0 হলে, = ?

(ক) 1

(খ) 2

(গ) 0

(ঘ) 4  

উত্তর(ঘ) 4  

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: 

দেওয়া আছে, 

x2 – 2x + 1 = 0

⇒ x2 – 2.x.1 + 12 = 0

⇒ (x –1)2 = 0

⇒ x – 1 = 0

∴ x = 1

প্রদত্ত রাশি,

= 1 + 2 + 1

= 4

২। a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

(ক) 2ca

(খ) 2ab

(গ) –2ca  

(ঘ) –2ab

উত্তর(গ) –2ca   

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: 

প্রদত্ত রাশি,

= a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc

= (–a)2 + (–b)2 + c2 + 2(–a) (–b) + 2(–b) c + 2c (–a) + 2ca

= (–a –b + c)2 + 2ca

∴ প্রদত্ত রাশির সাথে –2ca যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে। 

অর্থাৎ, 

(–a –b + c)2 + 2ca + (–2ca)

= (–a –b + c)2 + 2ca – 2ca

= (–a –b + c)2; যা একটি পূর্ণবর্গ রাশি। 

৩। 2x – = 3 হলে, 8 = ?

(ক) 63  

(খ) 23

(গ) 53

(ঘ) 43

উত্তর (ক) 63

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: 

দেওয়া আছে, 2x – = 3

প্রদত্ত রাশি, 

= 8x3 – 

= (2x)3 – 

=+ 3.2x.

= (3)3 + 12.3

= 27 + 36

= 63

৪। a + 3 + = 0 হলে, a3 + = ?

(ক) –12

(খ) –6

(গ) –18  

(ঘ) –16 

উত্তর (গ) –18  

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: 

দেওয়া আছে, 

a + 3 + = 0

⇒ a + = –3

প্রদত্ত রাশি, 

a3 + 

= – 3.a.

= (–3)3 – 3.(–3)

= –27 + 9

= –18

৫। x2 – x + 1 = 0 হলে, x2 – = কত?  

(ক) 5

(খ)   

(গ) 5

(ঘ) 3

উত্তর  1

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: 

দেওয়া আছে, 

x2 – x + 1 = 0

⇒ x2 + 1 = x

⇒ = 

⇒ x + = 

আবার, 

= – 4.x.

⇒ = – 4

⇒ = 5 – 4

⇒ = 1

∴ x – = 1

প্রদত্ত রাশি, 

x2 – 

= 

= .1

= 

৬। x2 + = 38 হলে, x – = ?

(ক) ±3

(খ) ±2

(গ) ±6  

(ঘ) ±4

উত্তর (গ) ±6  

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: 

দেওয়া আছে, 

x2 + = 38

⇒ + 2.x.= 38

⇒ + 2 = 38

⇒ = 38 – 2

⇒ = 36

⇒ x – = 

∴ x – = ±6

৬৭। a4 – 51a2 + 1 = 0 হলে, a – = ?

(ক) ±7  

(খ) ±5

(গ) ±2

(ঘ) ±6

উত্তর (ক) ±7   

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: 

দেওয়া আছে, 

a4 – 51a2 + 1 = 0

⇒ a2 = 0

⇒ a2 – 51 + = 0

⇒ a2 + = 51

⇒ + 2.a.= 51

⇒ + 2 = 51

⇒ = 51 – 2

⇒ = 49

⇒ a – = 

∴ a – = ±7

৮। x4 – x2 + 1 = 0 হলে, x2 + এর মান কত?

(ক) 1  

(খ) 0

(গ) 2

(ঘ) 3

উত্তর (ক) 1  

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: 

দেওয়া আছে,

x4 – x2 + 1 = 0

⇒ x2 = 0

⇒ x2 – 1 + = 0

∴ x2 + = 1

৯। + = 3 হলে, + এর মান কত?

(ক) 2

(খ) 5

(গ) 3

(ঘ) 7  

উত্তর:(ঘ) 7  

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: 

দেওয়া আছে,

+ = 3

প্রদত্ত রাশি, 

+ 

= +  

= – 2..

= (3)2 – 2

= 9 – 2

= 7

১০। x – = p হলে, = ?

(ক) 2c

(খ) 

(গ) c  

(ঘ) c2

উত্তর:(গ) c  

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: 

দেওয়া আছে,

x – = p

⇒ = p

⇒ x2 – 1 = px

∴ x2 – px = 1

প্রদত্ত রাশি, 

= 

= 

= c

১১। x = + হলে x3 + এর মান কত?

(ক) 5

(খ) 52  

(গ) 5

(ঘ) 2

উত্তর (খ) 52  

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: 

দেওয়া আছে,

x = +

∴ = = 

= 

= – 

এখন, x + 

= + + – 

= 2

= 2 × 2

= 4

অতএব, x3 + = – 3 . x . 

= (4)3 – 3.4

= 64 – 12

= 52

১২। যদি x4 – x2 + 1 = 0 হয়, তবে x3 + = ?

ক. 3

খ. 2

গ. 1

ঘ. 0  

উত্তর ঘ. 0  

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: 

দেওয়া আছে, 

x4 – x2 + 1 = 0

বা, x4 + 1 = x2

বা, + = 1

বা, x2 + = 1

বা, – 2. x. = 1

বা, = 1 + 2

বা, = 3

∴ x + = 

প্রদত্ত রাশি, x3 + 

= – 3. x. 

= – 3

= 3– 3

= 0

১৩। x – y = 2 এবং xy = 24 হলে x + y এর মান কত?

(ক) ± 5

(খ) ± 10  

(গ) ± 4

(ঘ) ± 6

উত্তর (খ) ± 10  

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: 

দেওয়া আছে,

x – y = 2 এবং xy = 24

আমরা জানি, (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy

বা, (x + y)2 = 22 + 4.24

বা, (x + y)2 = 4 + 96

বা, (x + y)2 = 100

বা, x + y = 

∴ x + y = ± 10

১৪। x – 2y = 3 হলে, x3 – 8y3 – 18xy এর মান কত?

(ক) 25

(খ) 18

(গ) 27   

(ঘ) 23

উত্তর (গ) 27   

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে,

x – 2y = 3

বা, (x – 2y)3 = 33 [ঘন করে]

বা, (x)3 – (2y)3 – 3.x.2y(x – 2y) = 27

বা, x3 – 8y3 – 6xy.3 = 27

∴ x3 – 8y3 – 18xy = 27

১৫। a + b = 7 এবং a2 + b2 = 25 হলে নিচের কোনটি ab এর মান হবে–

(ক) 6

(খ) 10

(গ) 12   

(ঘ) 14

উত্তর  (গ) 12   

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে,

a + b = 7 এবং a2 + b2 = 25

∴ a2 + b2 = 25

বা, (a + b)2 – 2ab = 25

বা, (7)2 – 2ab = 25

বা, 49 – 2ab = 25

বা, 49 – 25 = 2ab

বা, 24 = 2ab

বা, ab = 

∴ ab = 12

১৬। x2 – x + 1 = 0 হলে, x2 + এর মান কত?

(ক) 1   

(খ) 2

(গ) 3

(ঘ) 0

উত্তর (ক) 1   

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: 

দেওয়া আছে,

x2 - x + 1 = 0

বা, x2 + 1 = x

বা, = 

বা, + = 

∴ x + = 

প্রদত্ত রাশি, x2 + 

= – 2.x.

=  – 2

= 3 – 2

= 1

১৭।  + = 2 হলে,  – = কত?

(ক) 2

(খ) 

(গ) 0   

(ঘ) 1

উত্তর (গ) 0   

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে,  + = 2

তাহলে, = – 4. .

বা, = (2)2 – 4

বা, = 4 – 4

বা,  – = 

∴ – = 0

১৮। x + =  হলে, x4 + =?

(ক) 2

(খ) – 2   

(গ) 1

(ঘ) – 1

উত্তর  (খ) – 2   

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: 

দেওয়া আছে, x + = 

প্রদত্তরাশি, x4 + 

= (x2)2 + 

= – 2.x2.

= – 2

= – 2

= (2 – 2)2 – 2

= 0 – 2

= – 2

১৯। যদি a3 – b3 = 513 এবং a – b = 3 হয়, তবে ab =?

(ক) 54   

(খ) 44

(গ) 34

(ঘ) 55

উত্তর (ক) 54   

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে,

a3 – b3 = 513 এবং a – b = 3

এখন, a3 – b3 = 513

বা, (a – b)3 + 3ab(a – b) = 513

বা, (3)3 + 3ab.3 = 513

বা, 27 + 9ab = 513

বা, 9ab = 513 – 27

বা, 9ab = 486

বা, ab = 

∴ ab = 54

৮০। a + b + c = 0 হলে, a3 + b3 + c3 এর মান কত?

(ক) abc

(খ) 2abc

(গ) 3abc   

(ঘ) 9abc

উত্তর (গ) 3abc   

বিস্তারিত  ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে,

(a + b + c) = 0

বা, a + b = – c

বা, (a + b)3 = (– c)3

বা, a3 + b3 + 3ab (a + b) = – c3

বা, a3 + b3 + 3ab(– c) = – c3

বা, a3 + b3 – 3abc = – c3

বা, a3 + b3 + c3 = 3abc